一、可數(shù)集的判定
(1) 自然數(shù)集、有理數(shù)集是可數(shù)集;(2)可數(shù)個可數(shù)集的并集是可數(shù)集;(3)有限個可數(shù)集的笛卡爾乘積是可數(shù)集;(4)不可數(shù)集是存在的,直線上任何區(qū)間不可數(shù).
(資料圖片僅供參考)
例1.直線上任何非空的開集是可數(shù)集嗎?
不是。在實數(shù)直線上,存在許多非空的開集是不可數(shù)的。例如,開區(qū)間 是一個非空的開集,但其元素個數(shù)是連續(xù)的實數(shù)個,是不可數(shù)的。
例2. 任何一個區(qū)間中無理數(shù)全體可數(shù)嗎?
不是
例3. 系數(shù)為有理數(shù)的多項式全體是一個可數(shù)集.
例4. 直線上互不相交的開區(qū)間族至多可數(shù)個.
開區(qū)間的長度大于 0, 故必含有有理數(shù), 在每一個開區(qū)間內(nèi)取出一個有理數(shù). 因為開區(qū)間互不相交, 所以取出的有理數(shù)都不相等, 從而這些有理數(shù)構(gòu)成 的一個子集. 又 是可列集, 故這樣的開區(qū)間至多有可列個.
例5. 直線上任何一個單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點至多可數(shù)個.
二、外測度、測度及其基本性質(zhì)
(1)理解外測度概念,會計算簡單集合的外測度.(2)理解可測集、測度概念,會計算簡單集合的測度.(3)會利用可測集定義、性質(zhì)證明集合的可測性.
例6.從外測度定義出發(fā),計算 中下面集合的外測度
例7.問 中集 是否可測?若可測,計算其測度
例8.設(shè) ,并且對任意 0" data-formula-type="inline-equation">,存在開集 ,使得 ,證明 可測
三、積分論(Lebesgue積分概念與性質(zhì))
例9. 幾乎處處相等的可測函數(shù)L-可積性相同嗎?
相同
例10. 常函數(shù)一定是Lebesgue可積函數(shù)嗎?
不一定
例11. 測度有限集上有界可測函數(shù)Lebesgue可積嗎?
是
例12. 何時在 上Lebesgue可積? 何時在 上 Lebesgue可積?
, 1" data-formula-type="inline-equation">
例13. 在 上Lebesgue可積嗎?函數(shù) 呢?
可積,可積
例14.
例15.設(shè)
例16.設(shè)函數(shù) ,問是否在 上Riemann可積? 是否在[0,1] 上Lebesgue可積?若可積求出積分值.
例17. 設(shè) ,令, 證明 在 內(nèi)可導(dǎo),并且可在積分號下求導(dǎo).
例18. 計算極限
例19.設(shè)是有界閉區(qū)間上的Riemann可積函數(shù)列,又設(shè)在上一致收斂于函數(shù),證明是上的Riemann可積函數(shù)
提示:證明在上有界,并且?guī)缀跆幪庍B續(xù)。
例20.Lebesgue 積分的本質(zhì)是什么?
Riemann積分是分割定義域(橫著分割),Lebesgue積分是分割值域(豎著分割)。
是的完備化空間
證明 作為 的子空間不是完備的.為此只需證明 不是閉子空間.
標(biāo)簽: